复数

Definition

我们定义常数 $i$ ，满足：

$$i^2 = -1$$

则所有形如

$$z = a + b \times i , \ \ \ \ \ a , b \in \mathbb{R}$$

的数字 $z$ 构成的数字集合为复数集，记为 $\mathbb{C}$ ， $\mathbb{C}$ 中的每个元素称作 复数。

对于 $z = a + bi$ ， 我们称 $a$ 为 $z$ 的实部，$b$ 为 $z$ 的虚部。

Geometric Interpretation

复平面是一个笛卡尔平面，横轴为实轴，纵轴为虚轴，两轴相互垂直。

对于复数 $z = a + bi$ ，他可以在复平面上表示为 $\overrightarrow{(a,b)}$ ， 也就是实轴坐标为实部，虚轴坐标为虚部。

显然复平面上的向量 $\overrightarrow{(a,b)}$ 和复数 $z = a + bi$ 一一对应。

以实轴正方向为始边， $z$ 所对应的向量 $\overrightarrow{Z}$ 为终边的角 $\theta$ 叫做复数 $z$ 的幅角。

Operation

复数的模

复数 $z = a + bi$ 的模是其在复平面对应向量 $\overrightarrow{Z}$ 的长度，记作 $|z|$。

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

共轭复数

复数 $z = a + bi$ 在复平面上对应的向量关于实轴对称后得到的向量对应的复数称为 $z$ 的共轭复数，记作 $\overline{z}$。

$z$ 和 $\overline{z}$ 满足以下关系：

设 $z$ 的幅角为 $\theta_0$ ， $\overline{z}$ 的幅角为 $\theta_1$，有：

$$\theta_0 + \theta_1 = 2\pi$$

$$|z| = |\overline{z}|$$

且假设 $z = a + bi$ ， 则 $\overline{z} = a - bi$.

运算

加减法

两个复数 $z_1 = a_1 + b_1i,z_2 = a_2 + b_2i$ 做加减运算的结果为：

$$z_0 = z_1 \pm z_2 = (a_1 \pm a_2) + (b_1 \pm b_2)i$$

显然，两个复数相加减，对应的向量相加减。

乘法

两个复数 $z_1 = a_1 + b_1i,z_2 = a_2 + b_2i$ 做乘法运算的结果为：

$$z_0 = z_1 \times z_2 = (a_1 + b_1i) \times (a_2 + b_2 i) = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i^2$$

因为

$$i^2 = -1$$

所以

$$z_0 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i$$

在复平面上，$z_1,z_2 , z_0$ 对应的幅角 $\theta_1,\theta_2,\theta_0$ 有如下关系：

$$\theta_0 = \theta_1 + \theta_2$$

他们的模有如下关系：

$$|z_0| = |z_1| \times |z_2|$$

显然对于复数 $z = a + bi$ 有：

$$z \times \overline{z} = a^2 + b^2$$

因此两个共轭复数的数的乘积为实数。

除法

两个复数 $z_1 = a_1 + b_1i,z_2 = a_2 + b_2i$ 做除法运算的结果为：

$$z_0 = \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1\overline{z2}}{a_2^2 + b_2^2}$$

复数指数幂

欧拉公式：

$$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$$

当 $\theta = \pi$ 时有

$$e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1$$

单位根

Definition

复数域名下，满足 $x^n = 1$ 的 $x$ 称为 $n$ 次单位根，

根据算数基本定理，显然 $n$ 次单位根有 $n$ 个。

经过计算可得，将所有的 $n$ 次单位根按照幅角大小排序，第 $k(0 \le k < n)$ 个 $n$ 次单位根为：

$$x_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}$$

Proof

$$x_k^n = e^{i2k\pi}$$

根据欧拉公式：

$$e^{i2\pi} = \cos i2\pi + i \sin i2\pi$$

因为

$$\cos 2k\pi = 1 , \sin 2k\pi = 0$$

所以

$$x_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}$$

是原方程的根。

显然这 $n$ 个解是互不相同的，又根据代数基本定理，该方程有且仅有 $n$ 个解。因此该方程解的与 $x_k$ 一一对应。证毕。

Property

因为 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$，所以所有的 $n$ 次单位根的模都是 $1$。

$n$ 个单位根在复平面上平分单位圆。他们与单位圆的 $n$ 等分线所在线段分别重合。

本原单位根

Definition

$0$ 到 $(n - 1)$ 次方的值能生成所有 $n$ 次单位根的 $n$ 次单位根称为为 $n$ 次本原单位根（$n$ 和 $k$ 互质的单位根）。

显然 $x_1 = e^{i \frac{2\pi}{n}}$ 是一个本原单位根。

记 $n$ 次本原单位根为 $\omega_n = e^{i \frac{2\pi}{n}} = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}$.

$n$ 次本原单位根可能不止一个，但是 FFT 的“本原单位根”特指 $e^{i \frac{2\pi}{n}}$。

Property

$$(\omega_{2m}^k)^2 = \omega_{m}^k$$

$$\omega_{2m}^{m+k} = -\omega_{2m}^k$$

Proof

根据几何意义显然。